函数基础
双曲函数
$$ 双曲正弦函数\space y=sh \space x =\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$
$$ 双曲余弦函数\space y=ch \space x =\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$
$$ 双曲正切函数\space y=th \space x=\frac{sh\space x}{ch\space x} =\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} $$
三角函数
$$ secA=\frac{1}{cosA} $$
$$ cscA=\frac{1}{sinA} $$
极限
数列极限
$$ \forall \varepsilon>0,\exists N>0,s.t.|x_n-A|<\varepsilon,when\space n>N $$
自变量趋于无穷大时函数极限
$$ \forall \varepsilon >0,\exist X>0,s.t.|f(x)-A|<\varepsilon,when \ \ x>X/x<X/|x|>X $$
自变量趋近有限值时函数极限
$$ \forall \varepsilon>0,\exist \delta>0,s.t.|f(x)-A|<\varepsilon,when \ \ 0<|x-x_0|<\delta $$
单侧极限：dddd
数列极限与函数极限的关系
定理
$$ 设f(x)在x_0某个去心领域\mathring{U}(x_0)内有定义，则\ \ \lim_{n \to \infty}f(x)=A \Longleftrightarrow \forall {x_n}满足(1)\ \ x_n\in \mathring{U}(x_0);(2)\ \ \lim_{x\to\infty}x_n=x_0,\ \ \lim_{n \to \infty}f(x_n)=A $$
用法
证明函数极限不存在
- 找收敛于$x_0$的数列${x_n}$，但$f(x_n)$极限不存在
- 找两个收敛于的数列，但函数极限不同
夹逼准则
单调有界准则
无穷
无穷小
$$ \forall\varepsilon>0,\exist \delta>0,s.t.|f(x)|<\varepsilon ,when \ \ 0<|x-x_0|<\delta $$
无穷大
$$ \forall M>0,\exist \delta>0,s.t.|f(x)|>M,when \ \ 0<|x-x_0|<\delta $$
定理
无穷小与有界变量之积为无穷小
重要极限
$$ \lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e $$
等价无穷小
一元函数积分学
函数可积的充分条件
$$ f(x)在[a,b]上连续 \Longrightarrow f(x)在[a,b]上可积\Longleftarrow f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点 $$
定理
估值定理
$$ M,m是f(x)区间[a,b]上最大值和最小值，则 $$
$$ m(b-a)\leq \int^b_af(x)dx\leq M(b-a),(a<b) $$
积分中值定理
$$ 设f(x)\in C[a,b],则至少存在一点\xi \in(a,b)，使得 $$
$$ \int^b_af(x)dx=f(\xi)(b-a) $$
积分上限函数
定义
$$ \Phi(x)=\int^x_af(t)dt\ \ \ \ (a\leq x\leq b) $$
定理
$$ f(x)\in C[a,b],则\Phi’(x)=f(x) $$
$$ f(x)\in C[a,b]，则f(x)在[a,b]上必有原函数 $$
微积分基本定理
不定积分
反常积分
无穷区间
无界
几何应用
极坐标下求面积
扇形面积微元：
$$ dA=\frac{1}{2}r^2(\theta)d\theta $$
一元函数微分学
导数
$$ 函数在某点可导\implies 函数在某点连续 $$
$$ 函数在某点可导\nLeftarrow 函数在某点连续 $$
反函数求导
$$ (f^{-1})’(x)=\frac{1}{f’(y)} $$
参数式函数、反函数二阶求导
隐函数求导
对数求导法
参数式函数求导
高阶导数
$$ (sinx)^{(n)}=sin(x+\frac{\pi}{2}n) $$
$$ (cosx)^{(n)}=cos(x+\frac{\pi}{2}n) $$
$$ [\alpha u(x)+\beta v(x)]^{(n)}=\alpha u^{(n) }(x)+\beta v^{(n)}(x) $$
莱布尼兹公式：
$$ (uv)^{(n)}=\sum^{n}_{k=0}C^k_nu^{(n-k)}v^{(k)} $$
微分
$$ \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x) $$
$$ 可导\iff 可微 $$
$$ \frac{dy}{dx}=f’(x) $$
线性近似
$$ f(x) \approx f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0) $$
微分中值定理
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒公式
曲率
弧微分公式
$$ ds=\sqrt{1+y’^{2}}dx $$
曲率
$$ K=\lim_{\Delta s\to 0}|\frac{\Delta \alpha }{\Delta s}|=|\frac{d\alpha }{ds}| $$
曲率计算公式
懒得写了
一元函数积分学
公式
$$
\int \sec^2x\mathrm{d}x=\tan x+C \\
\int \csc^2x\mathrm{d}x=-\cot x+C \\
\int \sec x\tan x \mathrm{d}x =\sec x+C \\
\int \csc x\cot x\mathrm{d}x=-\csc x+C \\
\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin x+C \\
\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C \\
$$
$$
\int \tan x\mathrm{d}x=-\ln\lvert \cos x\rvert +C\\
\int \cot x\mathrm{d}x=\ln\lvert\sin x\rvert +C\\
\int \sec x\mathrm{d}x= \ln \lvert \sec x+\tan x\rvert +C\\
\int \csc x\mathrm{d}x=\ln\lvert \csc x- \cot x\rvert +C\\
\int \frac{1}{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln\lvert\frac{a+x}{a-x}\rvert +C\\
\int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\mathrm{d}x=\ln\lvert x+ \sqrt{x^2\pm a^2}\rvert +C\\\\
$$
$$
\int ^{\frac{\pi}{2}}_0f(\sin x)\mathrm{d}x=\int ^{\frac{\pi}{2}}_0f(\cos x)\mathrm{d}x\\
\int ^{\pi}_0xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\int ^{\pi}_0f(\sin x)\mathrm{d}x\\
\int ^{\pi}_0f(\sin x)\mathrm{d}x=2\int ^{\frac{\pi}{2}}_0f(\sin x)\mathrm{d}x
$$
常微分方程
常微分方程：未知函数一元
偏微分方程：未知函数二元及以上
一阶微分方程(First-Order Differential Equations)
齐次方程
$$
\frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x})
$$
$$ 令u=\frac{y}{x},\space u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u) $$
一阶线性方程
$$
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\\
y=\frac{1}{v(x)} \int v(x)Q(x)dx,\space v=e^{\int P(x)dx}
$$
伯努利(Bernoulli)方程
$$
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n ,\space(n \neq 0,1)\\
y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)
$$
$$ 令z=y^{1-n},\space \frac {dz}{dx}=(1-n)y^{-n} \frac{dy}{dx} $$
$$ 将y代回原方程,\space \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) $$
可降价的高阶微分方程
$y^{(n)}=f(x)$
$y’’=f(x,y’)$
$y’’=f(y,y’)$
令$p=y’$
二阶齐次线性方程
$$
\frac{d^2y}{dx^2}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=0
$$
线性微分算子
$$
L(C_1 y_1+C_2y_2)=C_1L(y_1)+C_2L(y_2)
$$
定理1：二阶齐次线性方程的两个解的线性组合仍是该方程的解
定理2：设$y_1(x),y_2(x)$均不为零，则线性相关$\Leftrightarrow $两函数之比恒等于一个常熟，反之不恒等
定理3： 两个线性无关特解的线性组合为通解
二阶常系数齐次线性方程
$$
y’’+py’+qy=0
$$
$$ 欧拉待定指数函数法：设方程有解y=e^{rx},代入得:r^2+pr+q=0（特征方程） $$
- $\Delta>0$
- $\Delta=0$
$$ 需找出另一解，设\frac{y_2}{y_1}=u(x)不为常数 $$
$$ y_2=e^{r_1x}u(x)，求导两次 $$
$$ 代入微分方程，整理,一通操作：y_2=xe^{r_1x} $$
- $\Delta<0$
$$
r=\alpha \pm i\beta\\
y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin \beta x)
$$
二阶非齐次线性方程
多元函数积分学
数量值函数
二重
三重
第一类曲线
第一类曲面
质心
向量值函数
第二类曲线
第二类曲面
公式
格林公式
第二类曲线积分与二重积分
$$
\iint\limits_D\bigg(\frac{\part{Q}}{\part{x}}-\frac{\part{P}}{\part{y}}\bigg)dxdy=\oint_LPdx+Qdy
$$
$$
\iint\limits_D\bigg(\frac{\part{Q}}{\part{x}}-\frac{\part{P}}{\part{y}}\bigg)dxdy=\oint_{L_1}Pdx+Qdy+\oint_{L_2}Pdx+Qdy
$$
高斯公式
第二类曲面积分与三重积分
$$
\iiint\limits_V\bigg(\frac{\part{P}}{\part{x}}+\frac{\part{Q}}{\part{y}}+\frac{\part{R}}{\part{z}}\bigg)dV=\oiint\limits_SPdydz+Qdzdx+Rdxdy
$$
斯托克斯公式
空间第二类曲线积分与第二类曲面积分
$$
\oint\limits_LPdx+Qdy+Rdz=\iint\limits_S\left |\begin{array}{cccc}
dydz &dzdx &dxdy \
\frac{\part}{\part{x}} &\frac{\part}{\part{y}}&\frac{\part}{\part{z}} \
P & Q &R \
\end{array}\right|
$$
路径无关
无穷级数
常用级数
几何级数：
$$
\sum_{n=0}^{\infty}aq^n=\left{
\begin{aligned}
\frac{a}{1-q} & , & |q|<1, \
发散 & , & |q|>1
\end{aligned}
\right.
$$
调和级数
P级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n^p}=\left{
\begin{aligned}
发散 & , & p\leq 0, \
条件收敛 & , & 0<p\leq 1, \
绝对收敛 & , & p>1
\end{aligned}
\right.
$$
常数项级数判别
正数项
比较判敛法
n>N,k
比值为正数
比值判敛法
达朗贝尔
根值判敛法
柯西