振动&波
简谐振动
简谐振动的速度、加速度
$$
x=Acos(\omega t+\varphi)\\
v=-\omega A sin(\omega t+\varphi)\\
a=-\omega ^2 A cos(\omega t+\varphi)\\
运动学特性:a=-\omega ^2 x\\
动力学特性:F=ma=-m\omega ^2x=-kx\\
等效劲度系数:k=m\omega^2
$$
简谐振动的能量
公式
$$
(瞬时)振动势能:E_p=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t+\varphi)\\
(瞬时)振动动能:E_k=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2 sin^2(\omega t+\varphi)\\
E=E_p+E_k=\frac{1}{2}kA^2\\
平均能量:\overline{E}_p=\overline{E}_k=\frac{1}{4}kA^2
$$
p.s.振动势能和弹性势能一般不相同
证明简谐运动
由于对下式求导：
$$
E=E_p+E_k=C
$$
可得：
$$
w^2=\frac{k}{m}
$$
故可先写出振动体系能量关系，若能量守恒，就可求导得出谐振子动力学方程，多用于非机械振动
简谐振动的运动学描述
解析法
$$
w=\sqrt{\frac{k}{m}}\
A=\sqrt{x^2+\frac{v^2}{w^2}}\
tg\varphi=-\frac{v_0}{wx_0}
$$
旋转矢量法
曲线法
简谐振动的合成
同频率平行
$$
x_1=A_1cos(\omega t+\varphi_1)\\
x_2=A_2cos(\omega t+\varphi_2)\\
x=x_1+x_2=x_1=Acos(\omega t+\varphi)\
$$
由旋转矢量法求得：
$$
A= \sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}\\
tg\varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin \varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}\
$$
不同频率平行
$$
x_1=A\cos(\omega_1 t+\varphi)\\
x_2=A\cos(\omega_2 t+\varphi)\\
x=x_1+x_2=2A\cos\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t\cos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\varphi)
$$
当$$ \omega_1 $$和$$ \omega_2 $$都较大且相差很小时，$$ \cos\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t $$ 的周期比$$ cos(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t+\varphi) $$ 长得多，前者频率为调制频率，后者频率为载频
垂直
同频率
$$
x=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)\\
y=A_2\cos(\omega t+\varphi_2)\\
\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-2\frac{x}{A_1}\frac{y}{A_2}\cos(\varphi_2-\varphi_1)=\sin^2(\varphi_2-\varphi_1)
$$
- 一般为椭圆，形状由$$ \Delta \varphi $$决定
- $$ \Delta \varphi=2k\pi $$时，为直线，合振动为简谐振动
- $$ \Delta \varphi=\pm\frac{\pi}{2} $$时，为椭圆，合振动不为简谐振动，正为顺时针
不同频率
若频率有简单倍数关系，形成李萨如图形
波
描述量
波速（相速）：
$$
u=\sqrt{\frac{B}{\rho}},\ \ B为弹性模量\ \rho为质量密度（惯性）
$$
机械波波速取决于介质本身的性质，与波源振动的频率无关
波动方程
$$
y=A\cos[\omega(t\mp \frac{x}{u})+\varphi_0]
$$
动力学方程
将运动学方程中$y$对$t$，$x$求二阶偏导
$$
\frac{\partial^2{y}}{\partial{x}^2}=\frac{1}{u}\frac{\partial^2y}{\partial{t}^2}
$$
波的能流和强度
波的能量
$$
质元动能:\mathrm{d}E_k=\frac{1}{2}(\rho\mathrm{d}V)\omega^2A^2\sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})]\\
质元弹性势能:\mathrm{d}E_p=\frac{1}{2}(\rho\mathrm{d}V)\omega^2A^2\sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})]\\
质元能量:\mathrm{d}E=(\rho\mathrm{d}V)\omega^2A^2\sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})]\\
能量密度:w(x)=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}V}=\rho\omega^2A^2\sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})]\\
平均能量密度:\overline{w}(x)=\frac{1}{T}\int ^T _0\rho\omega^2A^2\sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})]\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2
$$
质元的机械能不是常量，随时间周期性变化，但能量密度在一个周期内平均值是常量
波的能流和能流密度
$$
能流:P=wuS=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}V}=\rho\omega^2A^2\sin^2[\omega(t-\frac{x}{u})]uS\\
平均能流:\overline{P}=\overline{w}uS=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2uS\\
平均能流密度(波强):I=\frac{\overline{P}}{S}=\frac{1}{2}\rho\omega^2A^2u
$$
波的叠加和干涉
$$
\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1-\frac{2\pi}{\lambda}(r_2-r_1)
$$
为$ 2k\pi $时加强，$ (2k+1)\pi $时减弱